こんにちは！
この記事は、次のような方におすすめです！
- ルジャンドル多項式の定義や性質を確認したい
早速内容に入りましょう！(^^)
定義
ルジャンドル多項式\(P_n(x)\)は\(-1<x<1\)で次のように定義されます。
\begin{align}
P_n(x)\equiv\sum_{k=0}^{[n/2]}\frac{(-1)^k(2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!}x^{n-2k}\quad(n=0,1,2,\dots) \tag{1}
\end{align}
\([n/2]\)はガウス記号で、\(n/2\)を超えない最大の整数を表します。
n=0,1,2,3,4に対するルジャンドル多項式
\begin{align}
P_0(x)&=1 \tag{2}\\
P_1(x)&=x \tag{3}\\
P_2(x)&=\frac{1}{2}(3x^2-1) \tag{4}\\
P_3(x)&=\frac{1}{2}(5x^3-3x) \tag{5}\\
P_4(x)&=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3) \tag{6}
\end{align}
偶奇性
\begin{align}
P_n(-x)=(-1)^nP_n(x) \tag{7}
\end{align}
母関数
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^2}}=\sum_{n=0}^\infty P_n(x)t^n \tag{8}
\end{align}
ただし、\(|t|<1\)です。
ロドリグの公式
\begin{align}
P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \tag{9}
\end{align}
漸化式
\begin{align}
(2n+1)xP_n(x)&=(n+1)P_{n+1}(x)+nP_{n-1} \tag{10}\\
(1-x^2)\frac{d}{dx}P_n(x)&=-nxP_n(x)+nP_{n-1}(x) \tag{11}
\end{align}
微分方程式
\begin{align}
\left[(1-x^2)\frac{d^2}{dx^2}-2x\frac{d}{dx}+n(n+1)\right]P_n(x)=0 \tag{12}
\end{align}
直交性
\begin{align}
\int^1_{-1}dx\,P_m(x)P_n(x)=\frac{2}{2n+1}\delta_{mn} \tag{13}
\end{align}
ここで、\(\varphi_n(x)\)を
\begin{align}
\varphi_n(x)\equiv\sqrt{\frac{2n+1}{2}}H_n(x) \tag{14}
\end{align}
で定義すると、
\begin{align}
\int^1_{-1}dx\,\varphi_m(x)\varphi_n(x)=\delta_{mn} \tag{15}
\end{align}
すなわち、\(\{\varphi_n(x)\}\)は正規直交系をつくります。
完全性
(14)で定義される\(\varphi_n(x)\)を用いて、
\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty\varphi_n(x)\varphi_n(y)=\delta(x-y) \tag{17}
\end{align}
