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この記事では、ラゲール陪多項式の定義と性質のまとめをします。
定義
ラゲール陪多項式\(L_n^{\,k}(x)\)は、\(0\le x<\infty\)において、
\begin{align}
L_n^{\,k}(x)\equiv\frac{d^k}{dx^k}L_n(x)\quad(n=0,1,2,\dots;k=0,1,2,\dots,n) \tag{1}
\end{align}
で定義されます。
n=0,1,2に対するラゲール陪多項式
\begin{align}
L_0^{\,0}(x)&=1 \tag{2}\\
L_1^{\,0}(x)&=-x+1,\quad L_1^{\,1}(x)=-1 \tag{3}\\
L_2^{\,0}(x)&=x^2-4x+2,\quad L_2^{\,1}(x)=2x-4,\quad L_2^{\,2}(x)=2 \tag{4}
\end{align}
母関数
\begin{align}
\frac{(-1)^k}{(1-t)^{k+1}}\exp\left(-\frac{xt}{1-t}\right)=\sum_{n=k}^\infty\frac{1}{n!}L_n^{\,k}(x)t^{n-k} \tag{5}
\end{align}
漸化式
\begin{align}
\left(x\frac{d}{dx}+n+1-x\right)L_n^{\,k}(x)=\left(1-\frac{k}{n+1}\right)L_{n+1}^{\,k}(x) \tag{6}\\
\left(x\frac{d}{dx}-n+k\right)L_n^{\,k}(x)=-n^2L_{n-1}^{\,k}(x) \tag{7}
\end{align}
微分方程式
\begin{align}
\left[x\frac{d^2}{dx^2}+(k+1-x)\frac{d}{dx}+n-k\right]L_n^{\,k}(x)=0 \tag{8}
\end{align}
直交性
\begin{align}
\int^\infty_0dx\,x^ke^{-x}L_m^{\,k}(x)L_n^{\,k}(x)=\frac{(n!)^3}{(n-k)!}\delta_{mn} \tag{9}
\end{align}
