こんにちは！
この記事では、ガンマ関数の定義や性質をまとめます！
定義
\(z\)を複素数として、ガンマ関数は、
\begin{align}
\Gamma(z)=\int^{\infty}_0 dt\,e^{-t}t^{x-1} \tag{1}
\end{align}
で定義されます。
定義域の拡大
上で定義したガンマ関数は、\(z\)の複素平面の右半分でのみ定義されています。
しかし、解析接続により定義域を左側へ拡大することができ、特異点を除いた\(z\)の複素平面全体で定義されます。
\(z=\frac{1}{2},1\)の値
\begin{align}
\Gamma(\tfrac{1}{2})=\sqrt{\pi} \tag{2}\\
\Gamma(1)=1 \tag{3}
\end{align}
いくつかの性質
\begin{align}
\Gamma(z+1)&=z\Gamma(z) \tag{4}\\
\Gamma(n+1)&=n!\quad(n:\text{自然数}) \tag{5}\\
\Gamma(n+\tfrac{1}{2})&=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi} \tag{6}\\
\Gamma(x)&\sim\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{x+n}\quad(x\sim-n=0,\,-1,\,-2\text{のとき}) \tag{7}
\end{align}
倍数公式
\begin{align}
\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma(z+\tfrac{1}{2}) \tag{8}
\end{align}
相反公式
\begin{align}
\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin \pi z} \tag{9}
\end{align}
スターリングの公式
実数\(x\gg1\)のとき、
\begin{align}
\Gamma(x+1)\sim\sqrt{2\pi x}x^x e^{-x}\left(1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}+\cdots\right) \tag{10}
\end{align}
無限乗積表示
\begin{align}
\text{ガウスの公式}\quad\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)} \tag{11}\\
\text{ワイヤシュトラスの公式}\quad\frac{1}{\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\prod^{\infty}_{k=1}\left[\left(1+\frac{x}{p}\right)e^{-z/k}\right] \tag{12}
\end{align}
ただし、\(\gamma\)はオイラー定数で、
\begin{align}
\gamma\equiv\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)\simeq0.577 \tag{13}
\end{align}
で定義されます。
