こんにちは！
この記事では、ラゲール多項式の定義や性質のまとめをします(^^)
ラゲール多項式から定義されるラゲール陪多項式が、量子力学の水素原子の問題で登場します！
なのでラゲール多項式もきちんと押さえておきましょう(^O^)
定義
ラゲール多項式\(L_n(x)\)は、\(0\le x<\infty\)において、
\begin{align}
L_n(x)\equiv\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{(n!)^2}{(k!)^2(n-k)!}x^k\quad(n=0,1,2,\dots) \tag{1}
\end{align}
で定義されます。
n=0,1,2,3に対するラゲール多項式
\begin{align}
L_0(x)&=1 \tag{2}\\
L_1(x)&=-x+1 \tag{3}\\
L_2(x)&=x^2-4x+2 \tag{4}\\
L_3(x)&=-x^3+9x^2-18x+6 \tag{5}
\end{align}
母関数
\begin{align}
\frac{1}{1-t}\exp\left(-\frac{xt}{1-t}\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}L_n(x)t^n \tag{6}
\end{align}
ロドリグの公式
\begin{align}
L_n(x)=e^x\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x}) \tag{7}
\end{align}
漸化式
\begin{align}
\left(x\frac{d}{dx}+n+1-x\right)L_n(x)&=L_{n+1}(x) \tag{8}\\
\left(x\frac{d}{dx}-n\right)L_n(x)&=-n^2L_{n-1}(x) \tag{9}
\end{align}
微分方程式
\begin{align}
\left[x\frac{d^2}{dx^2}+(1-x)\frac{d}{dx}+n\right]L_n(x)=0 \tag{10}
\end{align}
直交性
\begin{align}
\int^\infty_0dx\,e^{-x}L_m(x)L_n(x)=(n!)^2\delta_{mn} \tag{11}
\end{align}
