こんにちは！
この記事では、解析力学で出てくるポアソンの定理の証明を行います！
ポアソンの定理
ポアソンの定理とは、
\(f(q,p,t),\,g(q,p,t)\)が保存量のとき、\(\{f,g\}\)も保存量となる
という定理です。
ここで、\(\{f,g\}\)は以下で定義されるポアソン括弧です：
\begin{align}
\{f,g\}\equiv\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right) \tag{1}
\end{align}
\(N\)は系の自由度です。
ポアソンの定理の証明
ポアソンの定理の証明では、以下の記事で証明したポアソン括弧の性質を使います！
示すべきことは、\(\{f,g\}\)が保存量であること、つまり、
\begin{align}
\frac{d}{dt}\{f,g\}=0 \tag{2}
\end{align}
です。
左辺から計算していきましょう(^^)
\begin{align}
\frac{d}{dt}\{f,g\}
&=\{\{f,g\},H\}+\frac{\partial}{\partial t}\{f,g\}\\
&=\{\{f,g\},H\}+\left\{\color{red}{\frac{\partial f}{\partial t}},g\right\}+\left\{f,\color{red}{\frac{\partial g}{\partial t}}\right\}\\
&=\{\{f,g\},H\}-\{\color{red}{\{f,H\}},g\}-\{f,\color{red}{\{g,H\}}\}\\
&=\{H,\{g,f\}\}+\{g,\{f,H\}\}+\{f,\{H,g\}\}\\
&=0 \tag{3}
\end{align}
赤文字の部分の変形は、こちらの記事をご覧ください！(^^)↓
【解析力学】ポアソン括弧を用いた正準方程式、時間微分とハミルトニアンの関係、保存量とポアソン括弧（うまいタイトルが思いつかなかった笑）
また、４つ目の等号では、反対称性\(\{f,g\}=-\{g,f\}\)を、５つ目の等号では、ヤコビ恒等式\(\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0\)を用いました。（この\(f,g,h\)は任意関数です）
まとめ
この記事では、ポアソンの定理を証明しました！
ポアソンの定理とは、
\(f(q,p,t),\,g(q,p,t)\)が保存量のとき、\(\{f,g\}\)も保存量となる
という定理です。
それでは！
