【解析力学】時間並進対称性とエネルギー保存則

こんにちは！

この記事では、

時間並進対称性の導入
時間並進対称性のある系でラグランジアンの関数形がどうなるか？
その結果、エネルギー保存則が導かれること

を説明します！(^^)

簡単な具体例も載せたので、ぜひ最後までご覧ください(^o^)

時間並進対称性とそれに対応する保存量
保存量はエネルギー
まとめ

時間並進対称性とそれに対応する保存量

系が時間並進対称性をもつとは、時間並進

\begin{align}
t\to t+t_0\quad(t_0:\text{定数}) \tag{1}
\end{align}

に対して、系のラグランジアンが不変なことをいいます。

つまり、ラグランジアンが\(t\)にあらわに依存しない場合、系は時間並進対称性をもちます（証明はこちら）：

\begin{align}
L=L(q(t),\dot{q}(t)) \tag{2}
\end{align}

このラグランジアンを\(t\)について全微分してみましょう。

\begin{align}
\frac{dL}{dt}
&=\color{red}{\frac{\partial L}{\partial q_i}}\dot{q}_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i\\
&=\left(\color{red}{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}}\right)\dot{q}_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i\\
&=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i\right) \tag{3}
\end{align}

２行目では、Euler-Lagrange方程式

\begin{align}
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0 \tag{4}
\end{align}

を用いました。

３行目では、積の微分の公式より、全微分に書き換えました。

よって、

\begin{align}
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i-L\right)=0 \tag{5}
\end{align}

したがって、

\begin{align}
E\equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i-L \tag{6}
\end{align}

はこの系の保存量となります。

保存量はエネルギー

(6)はエネルギーを表しています。

そのことを確認するために、時間にあらわに依存しないポテンシャル\(V(\boldsymbol{r}(t))\)中の１質点系を考えましょう。

\begin{align}
L=\frac{1}{2}m\dot{\boldsymbol{r}}(t)^2-V(\boldsymbol{r}(t)) \tag{7}
\end{align}

このとき、(6)で定義した\(E\)は、

\begin{align}
E&=\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol{r}}}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}-L\\
&=m\dot{\boldsymbol{r}}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}-\left(\frac{1}{2}m\dot{\boldsymbol{r}}^2-V(\boldsymbol{r})\right)\\
&=\frac{1}{2}m\dot{\boldsymbol{r}}^2+V(\boldsymbol{r}) \tag{8}
\end{align}

となり、これは運動エネルギーとポテンシャルの和で、いわゆるエネルギーと一致します。