この記事では、ベクトル解析における重要な公式
スカラー３重積、ベクトル３重積、スカラー４重積、ベクトル４重積、ヤコビ恒等式
の表式をまとめ、それらの証明も与えます！
ただし、証明を簡略化するために、添字を用いた計算をしています。添字の計算に慣れていない場合、こちらをまずご覧ください！
では、早速公式のまとめから行きましょう(^^)
公式のまとめ
スカラー３重積
\begin{align}
\boldsymbol{A} \cdot (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{C}) = \boldsymbol{B} \cdot (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{A}) = \boldsymbol{C} \cdot (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B})
\end{align}
ベクトル３重積
\begin{align}
(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \times \boldsymbol{C} = (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{C}) \boldsymbol{B} – (\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{C}) \boldsymbol{A}
\end{align}
スカラー４重積
\begin{align}
(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \cdot (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{D}) = (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{C}) (\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{D}) – (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{D}) (\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{C})
\end{align}
ベクトル4重積
\begin{align}
(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \times (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{D}) &= (\boldsymbol{A} \cdot (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{D})) \boldsymbol{B} – (\boldsymbol{B} \cdot (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{D})) \boldsymbol{A} \\
&= (\boldsymbol{A} \cdot (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{D})) \boldsymbol{C} – (\boldsymbol{A} \cdot (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{C})) \boldsymbol{D}
\end{align}
ヤコビ恒等式
\begin{align}
(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \times \boldsymbol{C} + (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{C}) \times \boldsymbol{A} + (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{A}) \times \boldsymbol{B} = \boldsymbol{0}
\end{align}
証明：スカラー3重積
\begin{align}
\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})&=A_i\epsilon_{ijk}B_jC_k=B_j\epsilon_{jki}C_kA_i=\boldsymbol{B}\cdot(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{A}) \\
\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})&=A_i\epsilon_{ijk}B_jC_k=C_k\epsilon_{kij}A_iB_j=\boldsymbol{C}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})
\end{align}
証明：ベクトル３重積
\begin{align}
((\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \times \boldsymbol{C})_i &= \epsilon_{ijk} (\epsilon_{jlm} A_l B_m) C_k \\
&= (\delta_{im} \delta_{kl} – \delta_{il} \delta_{km}) A_l B_m C_k \\
&= A_k C_k B_i – B_k C_k A_i \\
&= ((\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{C}) \boldsymbol{B} – (\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{C}) \boldsymbol{A})_i
\end{align}
証明：スカラー4重積
\begin{align*}
(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \cdot (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{D}) &= \epsilon_{ijk} A_j B_k \epsilon_{ilm} C_l D_m \\
&= (\delta_{jl} \delta_{km} – \delta_{jm} \delta_{kl}) A_j B_k C_l D_m \\
&= A_j C_j B_k D_k – A_j D_j B_k C_k \\
&=(\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{C}) (\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{D}) – (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{D}) (\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{C})
\end{align*}
証明：ベクトル４重積
\begin{align}
((\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \times (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{D}))_i &= \epsilon_{ijk} (\epsilon_{jlm} A_l B_m) (\epsilon_{kno} C_n D_o) \\
&= (\delta_{kl} \delta_{im} – \delta_{km} \delta_{il}) \epsilon_{kno} A_l B_m C_n D_o\\
&= \epsilon_{kno} A_k B_i C_n D_o – \epsilon_{kno} A_i B_k C_n D_o \\
&= A_k \epsilon_{kno} C_n D_o B_i – B_k \epsilon_{kno} C_n D_o A_i \\
&= (\boldsymbol{A} \cdot (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{D})) \boldsymbol{B} – (\boldsymbol{B} \cdot (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{D})) \boldsymbol{A} \\
((\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \times (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{D}))i &= \epsilon{ijk} (\epsilon_{jlm} A_l B_m) (\epsilon_{kno} C_n D_o) \\
&= (\delta_{jo} \delta_{in} – \delta_{jn} \delta_{io}) \epsilon_{jlm} A_l B_m C_n D_o \\
&= \epsilon_{jlm} A_l B_m C_i D_j – \epsilon_{jlm} A_l B_m C_j D_i \\
&= A_l \epsilon_{lmj} B_m D_j C_i – A_l \epsilon_{lmj} B_m C_j D_i \\
&= (\boldsymbol{A} \cdot (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{D})) \boldsymbol{C} – (\boldsymbol{A} \cdot (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{C})) \boldsymbol{D}.
\end{align}
証明：ヤコビ恒等式
\begin{align}
&(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \times \boldsymbol{C} + (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{C}) \times \boldsymbol{A} + (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{A}) \times \boldsymbol{B} \\
&= (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{C}) \boldsymbol{B} – (\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{C}) \boldsymbol{A} + (\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{A}) \boldsymbol{C} – (\boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{A}) \boldsymbol{B} + (\boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{B}) \boldsymbol{A} – (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}) \boldsymbol{C} \\
&= \boldsymbol{0}
\end{align}
